matematicas y arismetica

Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es unaestructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Historia]

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de unsistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic,¹publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicaspara tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante:The Laws of Thought,² publicado en 1854.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

Definición

Dado un conjunto: $\mathfrak{B}$ formado cuando menos por los elementos: $\varnothing, \; U$ en el que se ha definido:

Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

$\begin{array}{rrcl} \sim : & \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & a & \to & b = \sim a \end{array}$

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b deB.

$\forall a \in \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! b \in \mathfrak{B} \; / \quad b = \sim a$

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.

La operación binaria interna, que llamaremos suma:

$\begin{array}{rrcl} \oplus : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a \oplus b \end{array}$

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna unc de B.

$\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a \oplus b$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

La operación binaria interna, que llamaremos producto:

$\begin{array}{rrcl} \odot : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a \odot b \end{array}$

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

$\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a \odot b$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.

Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.

Axiomas necesarios[editar · editar código]

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: $(\mathfrak{B}, \sim, \oplus, \odot)$ son unálgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

$\forall a, b, c \in \mathfrak{B} : \; (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$

1b: La ley asociativa del producto:

$\forall a, b,c \in \mathfrak{B} : \; (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \oplus \varnothing = a$

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \odot U = a$

3a: La ley conmutativa de la suma:

$\forall a, b \in \mathfrak{B} : \; a \oplus b = b \oplus a$

3b: La ley conmutativa del producto:

$\forall a, b \in \mathfrak{B} : \; a \odot b = b \odot a$

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

$\forall a, b, c \in \mathfrak{B} : \; a \oplus (b \odot c) = (a \oplus b) \odot (a \oplus c)$

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

$\forall a, b, c \in \mathfrak{B} : \; a \odot (b \oplus c) = (a \odot b) \oplus (a \odot c)$

5a: Existe elemento complemento para la suma:

$\forall a \in \mathfrak{B} ; \; \exists \sim a \in \mathfrak{B} : \; a \oplus \sim a = U$

5b: Existe elemento complemento para el producto:

$\forall a \in \mathfrak{B} ; \; \exists \sim a \in \mathfrak{B} : \; a \odot \sim a = \varnothing$

Teoremas fundamentales

Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientesteoremas fundamentales:

6a: Ley de idempotencia para la suma:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \oplus a = a$

6b: Ley de idempotencia para el producto:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \odot a = a$

7a: Ley de absorción para la suma:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \oplus U = U$

7b: Ley de absorción para el producto:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \odot \varnothing = \varnothing$

8a: Ley de identidad para la suma:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \oplus \varnothing = a$

8b: Ley de identidad para el producto:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; a \odot U = a$

9: Ley de involución:

$\forall a \in \mathfrak{B} : \; \sim (\sim a) = a$

10: Ley del complemento:

$\sim U = \varnothing$

$\sim \varnothing = U$

11: Leyes de De Morgan:

$\forall a, b \in \mathfrak{B} : \; \sim ( a \oplus b) = \sim a \odot \sim b$

$\forall a, b \in \mathfrak{B} : \; \sim ( a \odot b) = \sim a \oplus \sim b$

Orden en el álgebra de Boole[editar · editar código]

Sea: $(\mathfrak{B}, \sim, \oplus, \odot)$ un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

$a \precsim b$

si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

$a \oplus b = b$
$a \odot b = a$
$\sim a \oplus b = U$
$a \odot \sim b = \varnothing$

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Principio de dualidad]

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los deproducto, y de los $U \;$ con los $\varnothing$ .

	Adición	Producto
1	$a \oplus \sim {a} = U \,$	$a \odot \sim {a} = \varnothing$
2	$a \oplus \varnothing = a \,$	$a \odot U = a \,$
3	$a \oplus U = U \,$	$a \odot \varnothing = \varnothing \,$
4	$a \oplus a = a \,$	$a \odot a = a \,$
5	$a \oplus b = b \oplus a \,$	$a \odot b = b \odot a \,$
6	$a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c \,$	$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c \,$
7	$a \oplus ( b \odot c ) = (a \oplus b) \odot (a \oplus c) \,$	$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c \,$
8	$a \oplus a \odot b = a \,$	$a \odot (a \oplus b) = a \,$
9	$\sim {(a \oplus b)} = \sim {a} \odot \sim {b}$	$\sim {(a \odot b)} = \sim {a} \oplus \sim {b} \,$

Otras formas de notación del álgebra de Boole]

En Lógica binaria se suele emplear la notación $(\{0,1\}, \bar{}, + , \cdot)$ , común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

$\overline {a + b}= \bar {a} \cdot \bar {b} \,$

$\overline {a \cdot b} = \bar {a}+ \bar {b} \,$

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}

Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

$\mbox{NOT }(a \mbox{ OR } b)= \mbox{NOT } a \mbox{ AND } \mbox{NOT } b \,$

$\mbox{NOT }(a \mbox{ AND } b) = \mbox{NOT } a \mbox{ OR } \mbox{NOT } b \,$

En su aplicación a la lógica se emplea la notación $\land \lor \lnot$ y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:

$\lnot {(a \lor b)}= \lnot {a} \land \lnot {b} \,$

$\lnot {(a \land b)} = \lnot {a} \lor \lnot {b} \,$

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: $(\mathcal{P}(U), \sim, \cup , \cap)$

En esta notación las leyes de De Morgan serían así:

$\sim {(a \cup b)} = \; \sim {a} \; \cap \sim {b} \,$

$\sim {(a \cap b)} = \; \sim {a} \; \cup \sim {b} \,$

Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así:

${(A \cup B)}^C = \; {A}^C \cap {B}^C$

${(A \cap B)}^C = \; {A}^C \cup {B}^C$

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:

$(a + b)' = a' b' \,$

$(a b)' = a' + b' \,$

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:

$(A + B)' = A' B' \,$

$(A B)' = A' + B' \,$

Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole

Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables, veámoslos.

Lógica binaria]

Artículo principal: Lógica binaria

Artículo principal: Sistema digital

Artículo principal: Sistema binario

Artículo principal: Tabla de verdad

Artículo principal: Sistema combinacional

Artículo principal: Circuito de conmutación

Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto $\mathfrak{B}$ en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F,V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:

$\mathfrak{B} = \{0, 1 \}$

Donde:

$\varnothing = 0$

$U = 1 \;$

La operación unaria interna, que llamaremos negación:

$\begin{array}{c|c} a & \bar{a} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrcl} \bar{ } : & \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & a & \to & b = \bar a \end{array}$

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.

$\forall a \in \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! b \in \mathfrak{B} \; / \quad b = \bar{a}$

Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.

La operación binaria interna, que llamaremos suma:

$\begin{array}{c|cc} + & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rrcl} + : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a + b \end{array}$

Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

$\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a + b$

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

la operación binaria interna, que llamaremos producto:

$\begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rrcl} \cdot : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a \cdot b \end{array}$

Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

$\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a \cdot b$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.

Axiomas]

Así $(\{0,1\}, \bar{}, +, \cdot)$ es un álgebra de boole al cumplir los siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

$\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; (a + b) + c = a + (b + c)$

1b: La ley asociativa del producto:

$\forall a, b,c \in \{0,1\} : \; (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a + 0 = a$

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a \cdot 1 = a$

3a: La ley conmutativa de la suma:

$\forall a, b \in \{0,1\} : \; a + b = b + a$

3b: La ley conmutativa del producto:

$\forall a, b \in \{0,1\} : \; a \cdot b = b \cdot a$

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

$\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

$\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$

5a: Existe elemento complementario para la suma:

$\forall a \in \{0,1\} ; \; \exists \bar{a} \in \{0,1\} : \; a + \bar{a} = 1$

5b: Existe elemento complementario para el producto:

$\forall a \in \{0,1\} ; \; \exists \bar{a} \in \{0,1\} : \; a \cdot \bar{a} = 0$

Luego $(\{0,1\}, \bar{}, +, \cdot)$ es álgebra de boole.

Teoremas fundamentales]

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

6a: Ley de idempotencia para la suma:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a + a = a$

6b: Ley de idempotencia para el producto:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a \cdot a = a$

7a: Ley de absorción para la suma:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a + 1 = 1$

7b: Ley de absorción para el producto:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a \cdot 0 = 0$

8a: Ley de identidad para la suma:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a + 0 = a$

8b: Ley de identidad para el producto:

$\forall a \in \{0,1\} : \; a \cdot 1 = a$

9: Ley de involución:

$\forall a \in \{0,1\} : \; \bar{ \bar{a}} = a$

10: Ley del complemento:

$\bar{1}= 0$

$\bar{0} = 1$

11: Leyes de De Morgan:

$\forall a, b \in \{0,1\} : \; \overline{ a + b} = \bar{a} \cdot \bar{b}$

$\forall a, b \in \{0,1\} : \; \overline{a \cdot b} = \bar{a} + \bar{b}$

Orden en el álgebra de Boole

Partiendo de $(\{0,1\}, \bar{ }, + , \cdot)$ álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones:

$\left . \begin{array}{l} a + b= b \\ a \cdot b = a \\ \bar{a} + b = 1 \\ a \cdot \bar{b} = 0 \end{array} \right \} \longrightarrow \quad a \le b$

entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:

$0 + 1 = 1$
$0 \cdot 1 = 0$
$\bar{0} + 1 = 1$
$0 \cdot \bar{1} = 0$

Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:

$0 \le 1$

Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:

$\left . \begin{array}{l} 0 \le 1 \\ 0 \ne 1 \end{array} \right \} \longrightarrow \quad 0 < 1$

El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.

Álgebra de conjuntos[editar · editar código]

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Artículo principal: Teoría de conjuntos

Artículo principal: Conjunto potencia

Artículo principal: Diagrama de Venn

Partiendo de un conjunto U, cualesquiera, llamamosconjunto potencia de U, al conjunto de todos los subconjuntos posibles de U y lo denotamos $\mathcal{P}(U)$ .